Το θεώρημα της πίτσας

Το θεώρημα της πίτσας

 

 

Δύο φίλοι παραγγέλνουν μια πίτσα στην αγαπημένη τους πιτσαρία. Ας υποθέσουμε ότι στη βιασύνη του ο σερβιτόρος κόβει την πίτσα εκτός κέντρου, με όλες τις τομές να διασταυρώνονται σε ένα σημείο σχηματίζοντας ίσες γωνίες με τη γειτονική τους.

Οι εκτός κέντρου τομές σημαίνουν ότι τα κομμάτια δεν θα έχουν το ίδιο μέγεθος. Επομένως οι δύο φίλοι, που παίρνουν εναλλάξ διαδοχικά κομμάτια, θα έχουν φάει ίσα μερίδια όταν τελειώσει η πίτσα και, αν όχι, ποιος θα έχει φάει περισσότερο;

Οπως συμβαίνει με πολλές μαθηματικές σπαζοκεφαλιές, η απάντηση ήρθε σε στάδια, για διαφορετικές κάθε φορά πιθανές περιπτώσεις του προβλήματος.

Η ευκολότερη προσφέρεται όταν τουλάχιστον μία τομή περνάει από το κέντρο της πίτσας: ένα γρήγορο σχήμα μπορεί να δείξει ότι στην περίπτωση αυτή τα αντιδιαμετρικά κομμάτια είναι συμπληρωματικά μεταξύ τους οπότε μοιράζονται ίσα ανάμεσα στους δύο συνδαιτυμόνες, ανεξάρτητα από το πόσες είναι οι τομές.

Τι γίνεται όμως όταν καμία τομή δεν περνάει από το κέντρο; Αν η πίτσα κόβεται μία φορά, η απάντηση είναι προφανής με το μάτι: όποιος τρώει το κέντρο τρώει περισσότερο. Αν γίνουν δύο τομές, που δίνουν τέσσερα κομμάτια, το αποτέλεσμα είναι το ίδιο: όποιος φάει το κομμάτι που περιλαμβάνει το κέντρο τρώει περισσότερη πίτσα.

Όσο όμως οι τομές αυξάνονται, παρουσιάζονται διάφορες ανωμαλίες και η λύση τους οδήγησε, με τον χρόνο, στον σχηματισμό των τριών γενικών κανόνων που απαρτίζουν το θεώρημα της πίτσας.

Οι ζυγές τομές

Ο πρώτος ορίζει ότι αν η πίτσα κοπεί σε ένα δεδομένο σημείο με ζυγό αριθμό τομών μεγαλύτερο του 2, θα μοιραστεί ίσα ανάμεσα στους δύο συνδαιτυμόνες που παίρνουν εναλλάξ διαδοχικά κομμάτια.

Προτάθηκε για πρώτη φορά για 4 τομές (8 κομμάτια) από τον Άπτον το 1967 στο περιοδικό «Μathematics Μagazine», ενώ η λύση που όριζε ότι η πίτσα μοιράζεται ίσα για οποιονδήποτε αριθμό ζυγών τομών ήλθε έναν χρόνο αργότερα ως απάντηση στην «πρόκληση» του Άπτον.

Οι μονές τομές

Με τους μονούς αριθμούς τομών όμως τα πράγματα περιπλέκονται. Εδώ το θεώρημα της πίτσας λέει ότι αν κόψει κανείς την πίτσα με 3, 7, 11, 15… τομές, χωρίς καμία τομή να περνάει από το κέντρο της, τότε αυτός που θα πάρει το κομμάτι που περιέχει το κέντρο της πίτσας θα φάει συνολικά περισσότερο. Αν όμως οι τομές είναι 5, 9, 13, 17… αυτός που θα πάρει το κομμάτι με το κέντρο καταλήγει να τρώει λιγότερο.

Το θεώρημα ισχύει, αν κάνει κανείς τους υπολογισμούς, απέβη όμως εξαιρετικά δύσκολο να αποδειχθεί από τους μαθηματικούς. Το 1994, οι Μέιμπρι και Ντάιερμαν, άρχισαν να ασχολούνται με μια εκδοχή του θεωρήματος της πίτσας που επανεμφανίστηκε στο «Μathematics Μagazine».

Συγκεκριμένα το περιοδικό προκαλούσε τους αναγνώστες να αποδείξουν δύο συγκεκριμένες περιπτώσεις του προβλήματος, αυτή στην οποία η πίτσα κόβεται με 3 τομές και αυτή στην οποία κόβεται με 5.

Ενώ οι δύο συνεργάτες έλυσαν γρήγορα το πρόβλημα για τις 3 και στην συνέχεια για τις 5 και 7 τομές, στην πράξη αποδείχθηκε σχεδόν αδύνατον να βρεθεί μία λύση που να καλύπτει όλους τους πιθανούς μονούς αριθμούς τομών.

Οι δύο μαθηματικοί χρησιμοποίησαν ένα γεωμετρικό τέχνασμα για να απλοποιήσουν τη διαδικασία, εισάγοντας ένα παραλληλεπίπεδο που σχηματίζεται από κάθε τομή και μια παράλληλή της γραμμή η οποία περνάει από το κέντρο της πίτσας.

Μετά από πολλές προσπάθειες, η τελική απόδειξη του θεωρήματος της πίτσας βρέθηκε, και τον Μάιο του 2009 δημοσιεύτηκε στην επιθεώρηση Αmerican Mathematical Μonthly.

Πηγές
Το Βήμα
Wikipedia

You may also like...

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *